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1. Diffraction par une
fente
1.1 Schéma
1.2 Intensité de la lumière à l'infini.
a = 2R
En x, le déphasage par rapport à 0, δ = x sin θ = x θ ( θ
est petit )
φ
= 2 π δ/λ =
2πθ/λ x
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L'amplitude à l'infini des ondes diffractées est A = A0 |
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-R
e-j φ dx
= A0 |
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-R cos
φ
dx - j a0 |
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-R
sin
φ
dx |
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le terme en sin donne 0, donc A = A0 |
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-R cos
(2πθ/λ
x) dx = 2A0 sin
(2πθ /λ
R)/(2πθ /λ)
|
A = 2RA0 sin
(πaθ /λ)/(πaθ /λ)
I = A2 = a2A02 sin2
(πaθ /λ)/(πaθ /λ)2
I = Im sin2
(π aθ /λ)/(π aθ
/λ)2
1.2 raies sombres.
Les zéros correspondent à sin2
(π aθ /λ)
= 0 donc si π a θ /λ
= k π
θ /λ
= k/a
θ
= k λ/a
2. Diffraction par un trou circulaire
2.1 Schémas
2.2 Intensité de la lumière
à l'infini.
a = 2R
En x, le déphasage par rapport à 0, δ = x sin θ = x θ
( θ est petit )
φ
= 2πδ/λ =
2πθ/λ
x
L'amplitude Ax émise par un élément de surface du trou est A0
2ydx
e-j φ
y = (R2
-x2)1/2
donc Ax = 2A0(R2
-x2)1/2 e-j
φ
dx
|
L'amplitude à l'infini des ondes diffractées est A = 2A0 |
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-R
(R2
- x2)1/2 e-j
φ
dx |
|
A = 2A0 |
|
-R (R2
- x2)1/2 cos
φ
dx + j 2A0 |
|
-R
(R2
- x2)1/2sin
φ
dx |
|
le terme en sin donne 0, donc A = 2A0 |
|
-R (R2
-x2)1/2 cos
(2πθ /λ
x) dx |
|
A = 4A0 |
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0 (R2
- x2)1/2 cos
(2πθ /λ
x) dx |
| On change de variable u = x/R, alors A = 4A0R2 |
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0 (1
- u2)1/2 cos
(2πRθ /λ
u) du |
|
A = 4A0R2 |
|
0 (1
- u2)1/2 cos
(πaθ /λ
u) du |
|
0 (1
- u2)1/2 cos
(πaθ /λ
u) du = π/2
J1(πaθ /λ)/(πaθ /λ)
J1(x) est la fonction de Bessel |
J1(x) = x/2 S (-1)n
(x/2)2n /((n+1)
n!2)
A = 2πA0R2
J1(πaθ /λ)
/ (πaθ /λ)
I = A2 = π2A02a4 /2
J12(πaθ /λ)/(πaθ /λ)2
I = Im
J12(πaθ /λ)/(πaθ
/λ)2
2.2 raies sombres.
Les zéros correspondent à J12(πaθ /λ)
= 0 ce qui correspond à
:
θ a/l
= 1,22 ; 2,23 ; 3,24 ; 4,24 ; 5,24 ; 6,24 ; 7,24 ; 8,25 .........
3. Pouvoir de résolution
d'un instrument d'optique
3.1 Schéma
 |
Le premier zéro se trouve pour θ
=
1,22 λ/a donc
quand le rayon qui passe par le haut de l'ouverture fait un trajet plus
long de 1,22 λ que le
rayon passant par le bas.
En pratique, le pouvoir de
résolution étant une notion approximative, on peut prendre une
différence de λ |
3.2 Critère de Rayleigh
On considère que deux points sont
discernables si leurs images, élargies par la diffraction due à l'objectif de
l'instrument d'optique sont telles que le minimum de l'une est confondu avec le
maximum de l'autre. On a alors :
A donne une image centrée en B et
A' donne une image B' dont le premier minimum de diffraction est aussi en
B.
Ces deux points A et A' sont juste discernables
( critère de Rayleigh )
On pose AA' = d et α
l'angle sous lequel l'objectif est vu depuis le point A
La différence de marche δ entre les deux
rayons extrêmes ( en rouge) vaut :
δ = (( D/2 +d )² + L²)1/2 - ((
D/2 - d )² + L²)1/2 = ( D²/4 + L² + Dd )1/2 - ( D²/4
+ L² - Dd )1/2 en négligeant d²
δ = ( D²/4 + L² )1/2((1 + Dd/(
D²/4 + L²))1/2 - (1 - Dd/( D²/4 + L²))1/2 = ( D²/4 +
L²)1/2(1 + 0,5 Dd/( D²/4 + L² ) - 1 - 0,5 Dd/(D²/4 + L²)
δ = ( D²/4 + L²)1/2(Dd/( D²/4
+ L² ) = Dd/( D²/4 + L² )1/2
or D/( D²/4 + L² )1/2 = 2d sin(α/2)
δ
= 2d sin(α/2)
donc d'après le critère de Rayleigh, les deux points seront juste discernables
si 2d sin(α/2)
= λ
d = λ/(2 sin(α/2))
α n'est pas très grand donc 2sin(α/2)
= sin α
d
= λ/ sinα
3.3 Pouvoir de résolution
d'un télescope spatial
Dans l'espace, la résolution réelle
du télescope n'est pas réduite par les turbulences atmosphériques comme c'est
le cas pour les télescopes terrestres non adaptatifs.
θ = d /L = λ/(L sinα)
α est
très petit donc L sinα
= L α = D
θ = λ/(L
sinα) = λ/D
θ = λ/D
Le télescope Hubble a un diamètre de 2,4 m. On prend une l
moyenne de 500 nm.
On obtient θ = 2,1.10-7 rd
ce qui correspond à distinguer un cratère de 80 m de diamètre sur la lune.
3.4 Pouvoir de résolution
d'un microscope
d = λ/(2
sin(α/2))
α est voisin de 60° donc un microscope ne
peut pas distinguer un détail plus petit que λ,
donc de l'ordre de 1µm
Remarque : On peut augmenter la
résolution en diminuant λ , ce qui peut se
faire en plongeant l'objectif et la préparation dans un liquide de fort indice
de réfraction n. On a alors λ =
c/(nf) = λ0 /n et d est divisé
par n. C'est la raison de l'existence d'objectifs dits " à
immersion".
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