1. Schéma

Le pendule double est constitué d'un pendule rigide de longueur l1 et de masse m1 auquel est fixé un second pendule rigide de longueur l2 et de masse m2  Notations : dy/dt   =  y' d²y/dt²  =  y''

2. Le lagrangien

2.1 Équations de Lagrange.

Équation de Newton sur l'axe des x  :  m d²x/dt²  = ΣF_ix  +  Σf_ix       
( F_i  force dérivant d'un potentiel  et  f_i  autre force )
Les F_i dérivent d'un potentiel  :  ΣF_ix = - dE_p/dx            ( Ep est la somme des énergies potentielles )
m d²x/dt²  +  dE_p/dx = Σf_ix
m dx'/dt  +  dE_p/dx = Σf_ix
m dx'/dt  = d(d(1/2 mx'²)/dx')/dt
m dx'/dt  +  dE_p/dx  =  d(d(1/2 mx'²)/dx')/dt  - ( - dE_p/dx ) = d( d(1/2 mx'² - E_p )/dx')/dt  - d(1/2 mx'² - E_p )/dx =  Σf_ix
m dx'/dt  +  dE_p/dx  =  d(d(1/2( mx'² + my'² + mz'²) - E_p )/dx')/dt  - d(1/2 ( mx'² + my'² + mz'²) - E_p )/dx =  Σf_ix
m dx'/dt  +  dE_p/dx  =  d(d(E_c - E_p)/dx')/dt  - d(E_c - E_p)/dx  =  Σf_ix
On pose   L  =  E_c - E_p             L est le Lagrangien
On obtient  d(dL/dx')/dt  - dL/dx  =  Σf_ix     et    la même chose pour les autres coordonnées
Pour une coordonnée q quelconque on aura   d(dL/dq')/dt  - dL/dq  =  Σf_iq        
f_q dq  = f.dq = f_xdx +  f_ydy  +   f_zdz    donc   f_q =  f_x dx/dq  +  f_y dy/dq  +   f_z dz/dq  
 d(dL/dq')/dt  - dL/dq  = Σ( f_ix dx_i/dq  +  f_iy dy_i/dq  +   f_iz dz_i/dq )    ( x_i,  y_i et z_i  étant les coordonnées du point d'application de f_i )

Pour un système conservatif, les équations de Lagrange deviennent :

             d(dL/dq')/dt  - dL/dq = 0

Pour un pendule simple, on aura :
E_c = 1/2 mv² = 1/2 ml²θ'²   et    E_p =  - mgl cosθ          ( l'altitude nulle est sur l'axe )
x =  l sinθ          y =  - l cosθ           dx/dθ  = l cosθ            et          dy/dθ  = l sinθ
T_x   =  - T sinθ       et        T_y =  T cosθ
d(dL/dθ')/dt  - dL/dθ  =  T_x dx/dθ  +  T_y dy/dθ  =  - T l sinq cosθ  + T l cosθ sinθ  =  0
d(dL/dθ')/dt  - dL/dθ  = 0                ( Le système est conservatif )
L = 1/2 ml²θ'²  +  mgl cosθ
dL/dθ' =  ml²θ'        d(dL/dθ')/dt = ml²θ''
dL/dθ  =  - mgl sinθ       
d(dL/dθ')/dt  - dL/dθ  =  ml²θ'' +  mgl sinθ = 0
θ'' +  g/l sinθ  =  0    On obtient bien l'équation différentielle du pendule simple

Remarque : L'intérêt de cette approche est d'obtenir les équations du mouvement sans avoir à déterminer les expressions des tensions qui sont difficiles à calculer quand le système est complexe, ce qui est le cas du pendule double.

2.2 Le principe de moindre action pour un système conservatif

L'action S est l'intégrale du lagrangien entre l'instant de départ et l'instant d'arrivée :

S =

L( x, x') dt

Cette action doit être minimale, c'est le principe de moindre action, donc si on modifie légèrement, au premier ordre, L, S ne doit pas varier.
On remplace x par x + η on a alors  L( x + η, x' + η') = L( x, x')  + ηdL/dx +  η' dL/dx'  +  termes d'ordre plus élevé.
D'après le principe de moindre action :

S =

L( x + η, x' + η') dt  =

L( x, x') dt

donc

	( ηdL/dx +  η' dL/dx' )dt   =  0	On intègre par parties et en tenant compte qu'il faut que η(t1) = η(t2) = 0
	η(dL/dx - d(dL/dx' )/dt) dt  =  0	Cette relation est vraie si   d(dL/dx' )/dt  - dL/dx  = 0

L'équation de Lagrange pour un système conservatif, est donc équivalente au principe de moindre action.

3. Le pendule double sans frottement.

3.1 Approche Newtonienne.

Pendule 2  :  La masse m₂ subit son poids m₂g et  la tension T₂ du pendule 2
L'axe O₂ du pendule 2 est accéléré avec l'accélération a₁ du pendule1, donc le référentiel n'est pas galiléen. Dans ces conditions, on peut  appliquer les équations de Newton, à condition d'ajouter une pseudo-force  f =  - m₂ a₁  à la masse m₂
O₁M₂ = O₁O₂ + O₂M₂  donc  d²O₁M₂/dt² = d²O₁O₂/dt²  +  d²O₂M₂/dt² = a₁ + a₂
m₂ d²O₁M/dt² = S F =  m₂ a₁ + m₂ a₂  donc on obtient :   m₂ a₂ = m₂ g  + T₂  -  m₂  a₁ 
En passant à l'expression de la loi de Newton pour un système en rotation, on obtient ainsi :
J₂ θ₂'' =  m₂ l₂² θ₂'' =  M(m₂ g) +  M(T₂) -  M( m₂ a₁)  =  M(m₂ g) -  M( m₂ a_1t ) -  M( m₂ a_1n )               ( M(T₂ ) = 0 )
a_1t et a_1n sont les composantes tangentielles et normales de l'accélération de m₁
M( F) est le moment de F par rapport à l'axe du pendule 2 
Le pendule 1 a un mouvement circulaire donc :
a_1t  =  l₁ θ₁ ''    et     a_1n =  l₁ θ₁ '²
 M( m₂ a_1t ) =  - m₂ l₁ θ₁'' l₂ cos(θ₁-θ₂)     et      M( m₂ a_1n )  =  m₂ l₁ θ₁ '² l₂ sin(θ₁-θ₂)     et      M( m₂ g )  =  - m₂ g l₂ sinθ₂
m₂ l₂² θ₂ '' =  - m₂ g l₂ sinθ₂  -  m₂ l₁l₂ θ₁'' cos(θ₁-θ₂)  +  m₂ l₁l₂ θ₁ '² sin(θ₁-θ₂)
 l₂θ₂'' +  l₁ θ₁'' cos( θ₁ - θ₂ ) - l₁ θ₁'² sin( θ₁ - θ₂ ) +  g sinθ₂ = 0     ( 1 )

Pendule 1 : La masse m₁ subit son poids m₁g, la tension T₁ du pendule 1 et  la tension T₂ du pendule 2
J₂ θ₂'' =  m₁ l₁² θ₁ '' =  M(m₁ g ) +  M( T₁ )  +  M(T₂ ) =  M(m₁ g ) +  M(T₂ )  =  - m₁g l₁ sinθ₁ -  T₂ l₁ sin( θ₁ - θ₂ )           ( M( T₁ )  = 0 )
Sur la masse m₂, la deuxième loi de Newton donne  m a₂  =  m₂ g + T₂  - m₂ a₁
En projetant sur l'axe normal qui porte T₂, on obtient   
m₂ a_2n =  m₂ g_n + T₂ - m₂ a_1n =  m₂ g_n + T₂ - (m₂ a_1t)_n - (m₂ a_1t )_n 
m₂ a_2n = - m₂ g cosθ₂ + T₂  +  m₂ l₁ θ₁'²  cos( θ₁ - θ₂ )  +  m₂ l₁ θ₁'' sin( θ₁ - θ₂ ) 
On a un mouvement circulaire donc :  m₂ a_2n = m₂ l₂ θ₂'²
m₂ l₂ θ₂'² = - m₂ g cosθ₂ + T₂  +  m₂ l₁ θ₁'²  cos( θ₁ - θ₂ ) +  m₂ l₁ θ₁'' sin( θ₁ - θ₂ ) 
T₂  = m₂ l₂ θ₂'² + m₂ g cosθ₂ +  m₂ l₁ θ₁'²  cos( θ₁ - θ₂ ) +  m₂ l₁ θ₁'' sin( θ₁ - θ₂ ) 

m₁ l₁² θ₁ '' =  - m₁g l₁ sinθ₁ - T₂ l₁ sin( θ₁ - θ₂ )
m₁ l₁² θ₁ '' =  - m₁g l₁ sinθ₁ - m₂ l₂ l₁ sin( θ₁ - θ₂ ) θ₂'² - m₂ g l₁ sin( θ₁ - θ₂ ) cosθ₂ -  m₂ l₁l₁ sin( θ₁ - θ₂ ) θ₁'²  cos( θ₁ - θ₂ ) -  m₂ l₁ l₁ sin( θ₁ - θ₂ ) θ₁'' sin( θ₁ - θ₂ ) 
m₁ l₁θ₁ '' + m₂ l₁ sin²(θ₁ - θ₂) θ₁'' =  - m₂ l₁ sin(θ₁ - θ₂ )cos(θ₁ - θ₂ ) θ₁'² - m₂ l₂  sin(θ₁ - θ₂) θ₂'² - m₁ g sinθ₁ - m₂ g sin(θ₁ - θ₂ ) cosθ₂ 
θ₁'' = (- m₂ l₁ sin(θ₁ - θ₂ ) cos(θ₁ - θ₂) θ₁'² - m₂ l₂ sin(θ₁- θ₂) θ₂'² - m₁g sinθ₁ - m₂ g sin(θ₁ - θ₂ )cosθ₂ )/(m₁ l₁+ m₂ l₁sin²(θ₁- θ₂))

En reportant  θ₁'' dans ( 1 ), on obtient :
θ₂'' = ( ( m₁ + m₂ )l₁ sin(θ₁ - θ₂) θ₁'²  + m₂ l₂ sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁ - θ₂) θ₂'² + m₂ g sin(θ₁ - θ₂) cosθ₁ + m₁ g(cos(θ₁ - θ₂) sinθ₁ - sinθ₂)) /( m₁l₂ + m₂ l₂ sin²(θ₁ - θ₂))
cos(θ₁ - θ₂) sinθ₁ - sinθ₂ =  sin(θ₁ - θ₂) cosθ₁            ( Ca se démontre facilement... avec un peu d'astuce )      donc :
θ₂'' = ( ( m₁ + m₂ ) l₁ sin(θ₁ - θ₂) θ₁'²  + m₂ l₂ sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁ -θ₂) θ₂'² + (m₁+ m₂) g sin(θ₁ - θ₂) cosθ₁)/(m₁l₂ + m₂ l₂ sin²(θ₁ - θ₂))

3.2 Approche Lagrangienne.

3.2.1 Expression du lagrangien.

Les variables sont θ₁  et  θ₂
E_c = 1/2 m₁ v₁² + 1/2 m₂ v₂²
v₁ =  l₁θ₁'            v_2r =  l₂θ₂'       et       v₂  =  v₁ +  v_2r  ( relation vectorielle )
v₂²  =   v₁²  +  v_2r²  +  2 v₁ v_2r cos( θ₁ - θ₂ )  =   l₁²θ₁'²  +  l₂²θ₂'²  +  2  l₁l₂θ₁' θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )
E_c  = 1/2 m₁ l₁²θ₁'²  + 1/2 m₂ ( l₁²θ₁'²  +  l₂²θ₂'²  +  2  l₁l₂θ₁' θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )) 
E_c  =  1/2 ( m₁ + m₂  ) l₁²θ₁'²  + 1/2 m₂ ( l₂²θ₂'²  +  2  l₁l₂θ₁' θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )) 
Ep = - m₁g l₁cosθ₁ - m₂g ( l₁cosθ₁ + l₂cosθ₂ ) = - ( m₁ + m₂ )g l₁cosθ₁ - m₂g l₂cosθ₂             ( l'altitude nulle est sur l'axe )
L = 1/2 ( m₁ + m₂ ) l₁²θ₁'²  + 1/2 m₂ ( l₂²θ₂'²  +  2  l₁l₂θ₁'θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )) + ( m₁ + m₂ )g l₁cosθ₁ +  m₂g l₂cosθ₂

3.2.2 Équations différentielles.

Équations de Lagrange du système ( le système est conservatif ) :
d(dL/dθ₁')/dt - dL/dθ₁ = 0
d(dL/dθ₂')/dt - dL/dθ₂ = 0

L = 1/2 ( m₁ + m₂ ) l₁²θ₁'²  + 1/2 m₂ ( l₂²θ₂'²  +  2  l₁l₂ θ₁' θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )) + ( m₁ + m₂ )gl₁cosθ₁ + m₂g l₂cosθ₂
dL/dθ₁'  =  ( m₁ + m₂ ) l₁²θ₁' + m₂ l₁l₂ θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )
d(dL/dθ₁')/dt  = ( m₁ + m₂ ) l₁²θ₁'' +  m₂ l₁l₂ θ₂'' cos( θ₁ - θ₂ ) - m₂ l₁l₂ θ₂' sin( θ₁ - θ₂ ) ( θ₁' - θ₂' ) 
dL/dθ₁  = - m₂ l₁l₂ θ₁' θ₂' sin( θ₁ - θ₂ ) - ( m₁ + m₂ )gl₁sinθ₁
d(dL/dθ₁')/dt - dL/dθ₁ = ( m₁ + m₂ ) l₁²θ₁'' +  m₂ l₁l₂ θ₂'' cos( θ₁ - θ₂ ) - m₂ l₁l₂ θ₂' sin( θ₁ - θ₂ ) ( θ₁' - θ₂' )  + m₂ l₁l₂ θ₁' θ₂' sin( θ₁ - θ₂ ) + ( m₁ + m₂ )gl₁sinθ₁  = ( m₁ + m₂ ) l₁²θ₁'' +  m₂ l₁l₂ θ₂'' cos( θ₁ - θ₂ ) + m₂ l₁l₂ θ₂'² sin( θ₁ - θ₂ ) + ( m₁ + m₂ )gl₁sinθ₁ = 0
( m₁ + m₂ ) l₁θ₁'' +  m₂ l₂ θ₂'' cos( θ₁ - θ₂ ) + m₂ l₂ θ₂'² sin( θ₁ - θ₂ ) + ( m₁ + m₂ )g sinθ₁ = 0        ( 1 )

dL/dθ₂'  =  m₂ l₂²θ₂' + m₂ l₁l₂ θ₁' cos( θ₁ - θ₂ )
d(dL/dθ₂')/dt  = m₂ l₂²θ₂'' +  m₂ l₁l₂ θ₁'' cos( θ₁ - θ₂ ) - m₂ l₁l₂ θ₁' sin( θ₁ - θ₂ ) ( θ₁' - θ₂' ) 
dL/dθ₂  =  m₂ l₁l₂ θ₁' θ₂' sin( θ₁ - θ₂ ) - m₂ gl₂sinθ₂
d(dL/dθ₂')/dt - dL/dθ₂ = m₂ l₂²θ₂'' +  m₂ l₁l₂ θ₁'' cos( θ₁ - θ₂ ) - m₂ l₁l₂ θ₁' sin( θ₁ - θ₂ ) ( θ₁' - θ₂' )  - m₂ l₁l₂ θ₁' θ₂' sin( θ₁ - θ₂ ) + m₂ gl₂sinθ₂  = m₂ l₂²θ₂'' +  m₂ l₁l₂ θ₁'' cos( θ₁ - θ₂ ) - m₂ l₁l₂ θ₁'² sin( θ₁ - θ₂ ) + m₂ gl₂sinθ₂ = 0
l₂θ₂'' +  l₁ θ₁'' cos( θ₁ - θ₂ ) - l₁ θ₁'² sin( θ₁ - θ₂ ) +  g sinθ₂ = 0        ( 2 )

De ( 2 ), on déduit :
l₂θ₂'' = -  l₁ θ₁'' cos( θ₁ - θ₂ ) +  l₁ θ₁'² sin( θ₁ - θ₂ )  -  g sinθ₂ = 0
On reporte dans (1)
θ₁'' = (- m₂ l₁sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁ - θ₂) θ₁'² - m₂ l₂ sin(θ₁ - θ₂) θ₂'² - m₁g sinθ₁  - m₂ g sinθ₁  + m₂ g cos(θ₁ - θ₂)sinθ₂ )/( m₁l₁ + m₂ l₁  sin²(θ₁ - θ₂))
Il se trouve que  cos(θ₁ - θ₂)sinθ₂  - sinθ₁  = - sin(θ₁ - θ₂) cosθ₂                  ( Ca se démontre facilement... avec un peu d'astuce )
θ₁'' = (- m₂ l₁sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁ - θ₂) θ₁'² - m₂ l₂ sin(θ₁ - θ₂) θ₂'² - m₁g sinθ₁ - m₂ g sin(θ₁ - θ₂) cosθ₂)/(m₁l₁ + m₂ l₁ sin²(θ₁ - θ₂))

De ( 2 ), on déduit :
 l₁ θ₁'' cos( θ₁ - θ₂ ) = - l₂θ₂'' +  l₁ θ₁'² sin( θ₁ - θ₂ )  -  g sinθ₂ = 0
On reporte dans (1) 
θ₂'' = ( ( m₁ + m₂ )l₁ sin(θ₁ - θ₂) θ₁'²  +  m₂ l₂ sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁ - θ₂) θ₂'²  + m₂ g sin(θ₁ - θ₂) cosθ₁  +  m₁g(cos(θ₁ - θ₂) sinθ₁ - sin(θ₁ - θ₂)))/( m₁l₂  + m₂ sin²(θ₁ - θ₂))
Il se trouve que  cos(θ₁ - θ₂)sinθ₁ - sinθ₂  = sin(θ₁ - θ₂) cosθ₁                  ( Ca se démontre comme précédemment )
θ₂'' = (( m₁ + m₂ ) l₁ sin(θ₁ - θ₂) θ₁'²  + m₂ l₂ sin(θ₁ - θ₂)cos(θ₁-θ₂) θ₂'² + (m₁+ m₂) g sin(θ₁ - θ₂) cosθ₁)/(m₁l₂ + m₂ l₂ sin²(θ₁ - θ₂))

4. Le pendule à entraînement circulaire uniforme

4.1 Expression du lagrangien.

La variable est  θ₂               θ₁' = ω              θ₁ = ω t
E_c = 1/2 m₂ v₂²
v₁ =  l₁ω            v_2r =  l₂θ₂'       et       v₂  =  v₁ +  v_2r 
v₂²  =   v₁²  +  v_2r²  +  2 v₁ v_2r cos( θ₁ - θ₂ )  =   l₁²ω²  +  l₁²θ₂'²  +  2  l₁l₂ω θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )
E_c  = 1/2 m₁ l₁²ω²  + 1/2 m₂ ( l₁²ω²  +  l₁²θ₂'²  +  2  l₁l₂ω θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )) 
E_c  =  1/2 ( m₁ + m₂  ) l₁²ω²  + 1/2 m₂ ( l₁²θ₂'²  +  2  l₁l₂ω θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )) 
Ep = - m₁g l₁cosθ₁ - m₂g ( l₁cosθ₁ + l₂cosθ₂ ) = - ( m₁ + m₂ )g l₁cosθ₁ - m₂g l₂cosθ₂                ( l'altitude nulle est sur l'axe )
L = 1/2 ( m₁ + m₂ ) l₁²ω²  + 1/2 m₂ ( l₁²θ₂'²  +  2  l₁l₂ω θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )) + ( m₁ + m₂ )g l₁cosθ₁ +  m₂g l₂cosθ₂

4.2 Équation différentielle.

Équation de Lagrange du système ( le système est conservatif ) :
d(dL/dθ₂')/dt - dL/dθ₂ = 0

L = 1/2 ( m₁ + m₂ ) l₁²ω²  + 1/2 m₂ ( l₁²θ₂'²  +  2  l₁l₂ω θ₂' cos( θ₁ - θ₂ )) + ( m₁ + m₂ )g l₁cosθ₁ +  m₂g l₂cosθ₂
dL/dθ₂'  =  m₂ l₂²θ₂' + m₂ l₁l₂ ω cos( θ₁ - θ₂ )
d(dL/dθ₂')/dt  = m₂ l₂²θ₂'' - m₂ l₁l₂ ω sin( θ₁ - θ₂ ) ( ω - θ₂' ) 
dL/dθ₂  =  m₂ l₁l₂ ω θ₂' sin( θ₁ - θ₂ ) - m₂ gl₂sinθ₂
d(dL/dθ₂')/dt - dL/dθ₂ = m₂ l₂²θ₂'' - m₂ l₁l₂ ω sin( θ₁ - θ₂ ) ( ω - θ₂' ) - m₂ l₁l₂ ω θ₂' sin( θ₁ - θ₂ ) + m₂ gl₂sinθ₂  =  m₂ l₂²θ₂'' - m₂ l₁l₂ ω² sin( θ₁ - θ₂ ) + m₂ g l₂sinθ₂ = 0
 m₂ l₂²θ₂'' - m₂ l₁l₂ ω² sin( θ₁ - θ₂ ) + m₂ g l₂sinθ₂ = 0
                                                            θ₂'' +  g/l₂ sinθ₂  =  l₁/l₂ ω² sin( ωt - θ₂ )

4.3 Solution pour les petits angles.

θ petit donc sinθ = θ    et    sin( ωt - θ ) = sin(ωt)   donc
θ'' +  g/l₂ θ  =  l₁/l₂ ω² sin( ωt )
La solution stationnaire est de la forme θ  = θ_m sin( ωt )         on pose ω₀² =  g/l₂ 
- ω² θ_m sin( ωt )  +  ω₀² θ_m sin( ωt ) =  l₁/l₂ ω² sin( ωt )
θ_m  =  l₁/l₂ ω² /(ω₀²- ω²) =  l₁/(l₂ (ω₀²/ω² - 1))
                                                                θ  =  l₁/(l₂ (ω₀²/ω² - 1)) sin(ωt)  
C'est une équation de résonance classique sans frottement. Le système entre en résonance pour  ω  voisin de ω₀

Si on veut tenir compte du frottement, on peut ajouter un terme de frottement laminaire γ θ' ( valable seulement si l₁<< l₂ et θ petit ), on a alors :
θ'' +  γ θ'  +  ω₀² θ  =  l₁/l₂ ω² sin( ωt )  dont la solution stationnaire est 
θ  = θ_m sin( ωt - φ )   avec  θ_m  =  l₁/l₂  ω² /((ω₀²- ω²)² + γ²ω² )^1/2     et   tan φ = γ ω/(ω₀²- ω²)

Naturellement, si θ_m  devient grand, la théorie simplifiée des petits angles cesse d'être valable...