1 . Les lois de la dynamique pour un solide

1.1 Théorème du centre d'inertie

La masse M de l'objet est divisée en masses élémentaires m1, m2, m3.....mi...mn qu'on peut assimiler aux atomes si on veut, mais ce n'est pas essentiel. Ces masses subissent l'attraction de leurs voisines, ce sont les forces internes Fi int et des forces extérieures Fi ext imposées de l'extérieur ( gravitation ou autres ). On peut donc appliquer à chaque masse mi, la 2ème loi de Newton :  d(miVi) = ΣFi  = ΣFi int + ΣFi ext

2^ème loi de Newton : d(m_iV_i)  = ΣF_{i int} + ΣF_{i ext}      ( O est l'origine du repère Oxyz )
On additionne les équations de toutes les masses m_i  : 
Σ(d(m_i dOM_i/dt)/dt) = Σ(ΣF_{i int} + ΣF_{i ext}) = ΣF_int +  ΣF_ext = ΣF_ext   ( Les forces intérieures s'annulent deux à deux )
d(Σ(m_i dOM_i/dt))/dt = d(Σ(m_i d(OG + GM_i)/dt))/dt = d(Σ(m_i dOG/dt))/dt  + d(Σ(m_i dGM_i/dt))/dt 
Σ(m_i dOG/dt) = Σ(m_i)dOG/dt  = MV_G        et       Σ(m_i dGM_i/dt) = d(Σ(m_iGM_i)/dt  = 0  par définition de G
d(Σ( m_i dOM_i/dt ))/dt = d(MV_G)/dt    donc  
       d(MV_G)/dt  =  Σ F_ext        Théorème du centre d'inertie

M est constant donc  d(MV_G)/dt  = MdV_G/dt  =  M a_G  et
      M a_G  =  Σ F_ext 

1.2 Théorème des moments

Le solide peut tourner autour d'un axe passant par O, alors :
2^ème loi de Newton : m_i a_i  = m_i d²OM_i /dt² , on multiplie par le vecteur V_i vitesse de le masse m_i 
m_i a_i ^. V_i  =  m_i V_i ^. dV_i/dt  =  m_i d(1/2 V_i ^. V_i)/dt  = m_i d(V_i ²/2)/dt  = Σ (F_{i int} ^. V_i ) + Σ (F_{i ext} ^. V_i )
V_i  = ω r_i   ( ω est la vitesse angulaire de la masse M et r_i la distance de m_i à l'axe passant par O )
m_i r_i ^²d(ω ²/2)/dt = m_i r_i ^²ω dω/dt = Σ (F_{i int} ^. V_i ) + Σ (F_{i ext} ^. V_i ) = Σ F_{i int} r_i ω cos α_i + Σ F_{i ext} r_i ω cos β_i   ( α_i  et β_i  sont les angles entre les forces F_i et les vitesses V_i )
On divise par ω  : m_i r_i ^² dω/dt =  Σ F_{i int} r_i  cos α_i + Σ F_{i ext} r_i cos β_i  = Σ M_{Fi int} + Σ M_{Fi ext}      F_i  r_i  cos α_i  est en effet le moment de F_i par rapport à l'axe de rotation
m_i r_i ^² dω/dt =  Σ M_{Fi int} + Σ M_{Fi ext}  
On additionne les équations de toutes les masses m_i  : Σ( m_i r_i ^² dω/dt ) = d(Σ( m_i r_i ^² )ω)/dt =Σ (Σ M_{Fi int} + Σ M_{Fi ext}  )
S( m_i r_i ^² ) = J    ( Définition du moment d'inertie de la masse M  par rapport à l'axe passant par O )
d(Jω)/dt  = Σ (Σ M_{Fi int} + Σ M_{Fi ext}  ) = Σ (M_{F int} + M_{F ext}  ) = Σ M_{F ext}        ( Σ  M_{F int} = 0 car les moments des forces d'interaction s'annulent deux à deux ) 
donc     d(Jω)/dt  =  Σ M_{F ext}      ( θ est l'angle de rotation de la masse M autour de son axe )
     d(Jω)/dt  =  Σ M_{F ext}      Théorème des moments

Si J est constant, ce qui est fréquent, d(Jω)/dt  = Jdω/dt  =  Jd²θ/dt² =donc :
      Jd²θ/dt² =  Σ M_{F ext}     Théorème des moments à moment d'inertie constant   

1.3 Énergie cinétique du solide

On désigne par V_G la vitesse du centre d'inertie du solide et par ω la vitesse angulaire du solide autour de G. 
E_ci = 1/2 m_i V_i^²  est l'énergie cinétique de la masse élémentaire m_i.

E_ci = 1/2 m_i V_i^²  = 1/2 m_i V_i .V_i  =  1/2 m_i (dOM_i/dt )² = 1/2 m_i (d(OG + GM_i)/dt )² 
E_ci = 1/2 m_i ((dOG/dt)² + ( dGM_i/dt )²  + 2 dOG/dt . dGM_i/dt )  =  1/2 m_i (V_G² +  V_Gi²  + 2 V_G . dGM_i/dt)       V_Gi = r_i ω
E_c = Σ E_ci = 1/2 Σ (m_i V_G² ) + 1/2 Σ (m_i V_Gi² ) +  Σ (m_i V_G . dGM_i/dt) = 1/2 Σ (m_i)V_G² +  1/2 Σ (m_i r_i²)ω²  + V_G. Σ (d(m_i GM_i/dt)) 
E_c = 1/2 Σ (m_i)V_G² +  1/2 Σ (m_i r_i²)ω²  + V_G. Σ (d(m_i GM_i/dt)) = 1/2 Σ (m_i)V_G² +  1/2 Σ (m_i r_i²)ω²  + V_G. d(Σ (m_i GM_i))/dt) 
mais Σ (m_i GM_i)) = M GG = 0 ,  Σ (m_i) = M   et  Σ (m_i r_i²) = J   ( J est le moment d'inertie du solide par rapport à un axe passant par G ) 
    E_c = 1/2 MV_G²  + 1/2 Jω² 

2 . Etude de l'équilibre d'un solide

2.1 Lois de l'équilibre

A l'équilibre, a_G = 0  et ω = 0 donc : 

   S F_ext =  0  et  Σ M_{F ext}  =  0    Ce sont les deux lois qui doivent être vérifiées ( L'objet étant immobile, tout point O peut faire office d'axe )

2.2 Équilibre d'un objet soumis à 2 forces

S F_ext =  0  donc F₁  +  F₂  = 0   donc F₁  et  F₂  sont parallèles et F₁  =  F₂  , les deux forces sont égales et de sens contraires.

M_{F ext}  =  0  donc M_{F1  +}  M_F2  = 0   Comme F₁ = F₂ et que F₁  et  F₂  sont parallèles,  il faut que les deux bras de levier des deux forces soient égaux, il faut donc que les deux forces soient portées par la même droite, donc :

    Les deux forces doivent être de valeur égale, de sens contraire et alignées.

2.3 Équilibre d'un objet soumis à 3 forces

2.3.1 Conditions d'équilibre

S Fext =  0  donc F1  +  F2  +  F3  = 0      Les trois forces sont donc dans un même plan. MF ext  =  0  donc MF1  +  MF2   +  MF3  = 0   On prend un axe passant par le point O point de concours de  F1  et  F2 , les deux moments par rapport à cet axe, MF1  et  MF2  sont tous les deux nuls et donc il faut que MF3  = 0 pour que leur somme soit nulle. Ceci impose que la direction de F3 passe aussi par le point O et donc il faut que les trois forces soient concourantes.       Conditions d'équilibre :   F1, F2  et  F3  sont coplanaires et concourantes  F1  +  F2  +  F3  =  0

 2.3.2 Angles d'inclinaison des forces

F₁  +  F₂  +  F₃  =  0  
On projette cette relation vectorielle sur Ox
F₁ cos α +  F₂  cos β +  0  =  0    donc  cos β   =  (F₁/ F₂) cos α
On la projette ensuite sur Oy
F₁ sin α +  F₂  sin β  -  F₃  =  0   donc F₁ sin α +  F₂  (1 - cos² β )^1/2  -  F₃  =  0 
On remplace cos² β par (F₁/ F₂)² cos² α  : F₁ sin α +  F₂  (1 - (F₁/ F₂)² cos² α )^1/2  -  F₃  =  0 
F₂ (1 - (F₁/ F₂)² cos² α )^1/2  =  F₃  - F₁ sin α  donc  F₂ ²(1 - (F₁/ F₂)² cos² α) = (F₃  - F₁ sin α )² =  F₃² + F₁² sin² α - 2F₃F₁ sin α
F₂² - F₁² cos² α =  F₃² + F₁² sin² α - 2F₃F₁ sin α donc  F₂² =  F₃² + F₁² sin² α + F₁² cos² α - 2F₃F₁ sin α =  F₃² + F₁^² - 2F₃F₁ sin α
F₂² =  F₃² + F₁² - 2F₁F₃ sin α     donc    sin α =  (F₃²  + F₁² - F₂²)/(2F₁F₃)
sin α =  (F₃²  - F₂² + F₁²)/(2F₁F₃)

F₁ sin α +  F₂  sin β  -  F₃   =  0   donc   F₂  sin β =   F₃   - F₁ sin α  =  F₃   -  (F₃²  + F₁² - F₂²)/(2F₃ ) = (2F₃²   -  F₃²  - F₁² + F₂²)/(2F₃ )
F₂  sin β =  (F₃²  - F₁² + F₂²)/(2F₃ )    donc   sin β =  (F₃²  - F₁² + F₂²)/(2F₂F₃ )
sin β =  (F₃²  + F₂² - F₁²)/(2F₂F₃ )