Loi de Descartes :  n₁ sin i = n₂ sin r      ( cf : réfraction )

2. Les lentilles minces dans les conditions de Gauss

  2.1 Schéma du dioptre

p = OA         ( p < 0 ) p' = OA'        ( p' > 0 ) R = OC         ( R > 0 )

  2.2 relation du dioptre

sin α  =  h/R      
 n₁ sin i = n₂ sin r
tan ( i -α ) = - h/p     ( p < 0 )
tan ( α - r ) = h/p'

Approximations de Gauss : les angles sont petits donc h est petit  et O est très proche du dioptre ( rayons paraxiaux ). 
En pratique on impose h<R/10

On a alors sin ε = tan ε = ε
donc
α  =  h/R
 n₁ i  =  n₂ r
 i - α  = - h/p
α - r  =  h/p'
donc
 i  =  α  - h/p  =  h/R - h/p
 r  =  α - h/p' =  h/R - h/p'
 n₁ i  =  n₂  r  =  n₁ ( h/R - h/p )  =  n₂ ( h/R  -  h/p' )
donc   n₂ h/p' -  n₁ h/p=  ( n₂ - n₁ )h/R  donc

        n₂ /p' - n₁/p   =  ( n₂ - n₁ ) /R       Relation de conjugaison des dioptres.

La relation ne dépend pas de h donc tous les rayons partant de A convergent en A'. Le dioptre est donc stigmatique dans les conditions de Gauss.

 2.3  Relation des lentilles minces

Lentille mince : O est très proche des surfaces des deux dioptres.
Air : indice = 1
Lentille: indice = n
1er dioptre ( n₁ = 1, n₂ = n ) : 
            n /p₁  =  ( n -1) /R₁ +  1/p          ( R₁ > 0 )
2ème dioptre ( n₁ = n, n₂ = 1 )  :  
           1 /p^'  =  (1 - n ) / R₂  +  n/p₁   ( R₂  < 0 ) 
donc    1/p' =  ( n - 1 ) /R₁  -  ( n - 1 ) /R₂  +  1 /p 

            1/p'  -  1 /p  =  ( n - 1 )( 1 /R₁  - 1 /R₂  )  = 1/f ' = C        Loi de Descartes pour les lentilles minces

 2.4  Distance focale

La distance focale f ' = OF ' est la distance entre le centre de la lentille et l'endroit où se forme l'image d'un objet placé à l'infini
Si p est infini, 1 /p^'  =  ( n - 1 )( 1 /R₁  - 1 /R₂  )  = 1/f ' = C        

       1/f ' = C   = ( n - 1 )( 1 /R₁  - 1 /R₂  ) 

 Lentilles convexes : R₁ > 0  et  R₂ < 0  ou  1/R₁ > 1/R₂    donc  f ' > 0  et  C = 1/f ' > 0     ( F ' à droite du miroir )
 Lentilles concaves : R₁ < 0  et  R₂ > 0  ou  1 /R₁ < 1 /R₂    donc f ' < 0  et  C = 1/f ' < 0     ( F ' à gauche du miroir )

 2.5  Formule de conjugaison de Newton

B'A'/AB = FO/AF B'A'/AB = F'A'/OF' FO/AF = F'A'/OF' FA F'A' = OF OF' = - f² FA F'A' =  - f²           Loi de Newton pour les lentilles minces B'A'/AB = OA'/AO  γ = A'B'/AB = OA'/OA = p'/p      Formule du grandissement

2.6  Les lentilles sphériques hors conditions de Gauss

On étudie la distance focale f = OF d'une lentille plan-convexe.

f0 = (n-1)R OF = f L' = R cos i = ( R² - h²)1/2 d = R - L' = R - ( R² - h²)1/2 f ' = f  + d = L cos α f ' = f  + R - ( R² - h²)1/2 L = ( f '² + h² )1/2

n sin i = sin( i + α ) = sin i cos α + sinα cos i
n = cosα + sinα/tan i  = f '/L + h/L  L'/h = f '/L + L'/L = ( f ' + L' )/L
L = ( f ' + L' )/n  donc  L² = ( f '² + L'² + 2 f 'L' )/n²   donc  f '² +  h² = ( f '² + L'² + 2 f 'L' )/n²
( n² -1 ) f '² + 2 f 'L' + n²h² - L'² = 0
f ' = ( L' + ( L'² - ( n² -1 ) ( n²h² - L'² ))^1/2 )/( n² -1 )      ( L'autre signe n'a pas de signification physique )
f ' = ( L' + ( L'² - n⁴h² + n²L'² - L'² + n²h² )^1/2)/( n² -1 ) 
f ' = ( L' + ( - n⁴h² + n²L'² + n²h² )^1/2)/( n² -1 ) = ( L' + n ( R² - n²h² )^1/2)/( n² -1 ) = ( ( R² - h²)^1/2 + n ( R² - n²h² )^1/2)/( n² -1 ) 
f  + R - ( R² - h²)^1/2 = ((R² - h²)^1/2 + n ( R² - n²h² )^1/2)/( n² -1 ) 
f  = ((R² - h²)^1/2 + n ( R² - n²h² )^1/2)/( n² -1 ) - R + ( R² - h²)^1/2 = ( n²(R² - h²)^1/2  +  n ( R² - n²h² )^1/2)/( n² -1 ) - R
f = R (n( n(1 - h²/R²)^1/2  + (1 - n²h²/R²)^1/2)/( n² -1 ) - 1) 
f = f₀ (n( n(1 - h²/R²)^1/2  + (1 - n²h²/R² )^1/2)/( n + 1 ) - n + 1)               ( f₀  = R/(n-1)  est la distance focale de la lentille )

Courbe f/f0 = f(h/R) pour n = 1,5 f0 = R/(n-1) f est indépendant de h pour h < 0,1R Pour h/R = 1/n = 0,667,  fm = 0,171 f0

Valeur limite de f
f n'existe que si R² - n²h² >= 0 donc si h/R <= 1/n  ou  sin i <= 1/n 
sin i = 1/n correspond à l'angle limite de sortie du rayon de la lentille où i + α = 90°
Si h/R = 1/n, on a alors f_m = R( n²(1 - 1/n²)^1/2 )/( n² -1 ) - R = R n/( n² -1 )^1/2 - R
f_m = R ( n/( n² -1 )^1/2 - 1 ) = f₀ ( n(n-1)^1/2/(n+1)^1/2  -  n  + 1 )               ( f₀  = R/(n-1)  est la distance focale de la lentille )

Valeur de f  pour les petites valeurs de h ( h²/R² << 1 )
f  =  ( n²(R² - h²)^1/2  +  n ( R² - n²h² )^1/2)/( n² -1 ) - R =  ( n²R(1 - h²/R²)^1/2  +  nR( 1 - n²h²/R² )^1/2)/( n² -1 ) - R 
f = ( n²R(1 - h²/2R² ⁾  +  nR( 1 - n²h²/2R² ))/( n² -1 ) - R = ( n²R - n²h²/2R +  nR - n³h²/2R)/( n² -1 ) - R 
f  = (n²R + nR - n²( n + 1)h²/2R  - n²R + R )/( n² -1 ) = ( n + 1 )R/( n² -1 ) - n²( n + 1)h²/2R /( n² -1 ) = R/( n -1 ) - n²h²/2R /( n -1 ) 
f = R/( n -1 ) ( 1 - n²h²/2R²) =  f₀ ( 1 - n²h²/2R²)                ( f₀  = R/(n-1)  est la distance focale de la lentille )

Pour que f soit supérieur à 99% de f₀  ( Conditions de Gauss ) il faut  n²h²/2R² < 0,01  donc h²/R² < 0,02/n² = 0,01 donc h/R < 0,1
On est dans les conditions de Gauss si le rayon de la zone utile ( du diaphragme ) est inférieur à R/10 ou si le diamètre est inférieur à f₀/10 

3. Les miroirs sphériques dans les conditions de Gauss

  3.1 Schéma du miroir

p = OA         ( p < 0 ) p' = OA'        ( p' < 0 ) R = OC        ( R < 0 )

 3.2 relation des miroirs sphériques

sin α  =  - h/R     ( R < 0 )
tan (α - i )  =  - h/p     ( p < 0 )
tan (α + i ) =  - h/p'    ( p' < 0 )

Approximations de Gauss : les angles sont petits donc h est petit  et O est très proche de la surface du miroir ( rayons paraxiaux )
En pratique on impose h<R/10

On a alors sin ε = tan ε = ε
donc
α  =  - h/R    
α  - i  =  - h/p
α + i  =  - h/p'
donc
2 α  = - h/p - h/p' =  - 2 h/R  donc

         1/p' +  1 /p =  2 /R   = 1/f ' = C                     Loi de Descartes pour les miroirs sphériques

La relation ne dépend pas de h donc tous les rayons partant de A convergent en A'. Le miroir est donc stigmatique dans les conditions de Gauss.

  3.3 distance focale
La distance focale f ' = OF ' est la distance entre le centre du miroir et l'endroit où se forme l'image d'un objet placé à l'infini
Si p est infini, 1 /p^'  =  2/R  = 1/f ' = C        

         OF ' = f ' = 1/C   =  R/2

 Miroir concave :    R  < 0     donc C < 0   ( F ' à gauche du miroir )
 Lentilles convexe : R  > 0     donc C > 0  ( F ' à droite du miroir )

 3.4 Les miroirs sphériques hors conditions de Gauss

On étudie la distance focale f = OF d'une lentille plan-convexe.

OF = f L' = R cos i = ( R² - h²)1/2 d = R - L' = R - ( R² - h²)1/2 f ' = f  - d  f ' = f  - R + ( R² - h²)1/2

f ' = h/tan 2i = h cos 2i/sin 2i = h cos 2i/( 2 sin i cos i ) = h f '/(f '² + h² )^1/2 /( 2 h/R L'/R ) 
h/(f '² + h² )^1/2 = 2 hL'/R²
(f '² + h² )^1/2 = R²/(2L') donc L' = R²/(2 (f '² + h² )^1/2)
L'² = R⁴/(4 (f '² + h² ))  et  L'² = ( R² - h² )
R² -  h² = R⁴/(4 (f '² + h² ))  donc f '² + h² = R⁴/(4(R² -  h²)) = R²/(4(1 -  h²/R²))
f '² = R²(1/(4(1 -  h²/R²)) - h²/R²) = R²(1 -  4 h²/R²(1 - h²/R²)/(4(1 - h²/R²)) = R²(1 - 2h²/R²)²/(4(1 - h²/R²))
f ' = R(1 - 2h²/R²)/(2(1 - h²/R²)^1/2)               ( L'autre signe n'a pas de signification physique )
D'autre part, f ' = f - R + ( R² - h²)^1/2  donc 
f = R(1 - 2h²/R²)/(2(1 - h²/R²)^1/2) + R - (R² - h²)^1/2 = R (1 - (1 - h²/R²)^1/2  +  (1 - 2h²/R²)/(2(1 - h²/R²)^1/2)) 
f = R(2(1 - h²/R²)^1/2  - 1)/(2(1 - h²/R²)^1/2 ) = R(1 - 1/(2(1 - h²/R²)^1/2 ))
f = R(1 - 0,5/(1 - h²/R²)^1/2) = f₀ (2 - 1/(1 - h²/R²)^1/2)            ( f₀ = R/2   est la distance focale du miroir )

f0 = R/2 f est indépendant de h pour h < 0,15 R Pour h/R = sin 60° = 0,866, f = 0

Valeur de f  pour les petites valeurs de h ( h²/R² << 1 )
f  =  R(1 - 1/(2(1 - h²/R²)^1/2 ))
f = R(1 - (1 + h²/2R²)/2) = R(1/2 - h²/R²/4))
f = 0,5 R(1 - h²/2R²) = f₀ (1 - h²/2R²)      ( f₀ = R/2  est la distance focale du miroir )

Pour que f soit supérieur à 99% de f₀  ( Conditions de Gauss ) il faut h²/2R² < 0,01  donc h²/R² < 0,02  donc h/R < 0,14
On est dans les conditions de Gauss si le rayon de la zone utile ( du diaphragme ) est inférieur à R/10 ou si le diamètre est inférieur à 4f₀/10  environ  f₀/2.
Pour un télescope de distance focale de 1m, cela correspond à un miroir de 40 cm de diamètre. On obtient alors une image d'un point constituée d'un léger halo de 2 mm de rayon. C'est peu apparent mais inacceptable pour des images de grande résolution. C'est pourquoi on utilise des miroirs paraboliques qui sont parfaitement stigmatiques pour les télescopes astronomiques.

4. Pouvoir de résolution d'un instrument d'optique