On cherche une solution du type x = c e ^αt 

α² c e ^αt   +  γ α c e ^αt  +  ω₀² c e ^αt  = 0
α² +  γ α  +  ω₀²  = 0
α₁  =  - γ/2 + ( γ²/4 -  ω₀² )^1/2
α₂  =  - γ/2 - ( γ²/4 -  ω₀² )^1/2
x = a exp( α₁t ) + b exp( α₂t )

1.3 Solution apériodique  γ > 2ω₀ .

γ > 2ω₀    donc  α₁ et α₂   sont réels.
x = a exp( α₁t ) + b exp( α₂t )
v = α₁a exp( α₁t ) + α₂ b exp( α₂t )

Conditions initiales : A t = 0  x = x₀ et v = v₀

α₁  =  - γ/2 + ( γ²/4 -  ω₀² )^1/2
α₂  =  - γ/2 - ( γ²/4 -  ω₀² )^1/2
x₀ = a + b
v₀ = α₁a +  α₂ b       d'où
a = (α₂ x₀ - v₀)/(α₂ - α₁)  = 0,5 (v₀ + ( γ/2 + ( γ²/4  -  ω₀² )^1/2) x₀)/( γ²/4 -  ω₀² )^1/2
b = (α₁ x₀ - v₀)/(α₁ - α₂)  = 0,5 ((- γ/2 + ( γ²/4  -  ω₀² )^1/2) x₀ - v₀)/( γ²/4 -  ω₀² )^1/2)
x = a exp( α₁t ) + b exp( α₂t )
v = α₁a exp( α₁t ) + α₂ b exp( α₂t )

1.4 Solution oscillatoire amortie   γ < 2ω₀ .

γ < 2ω₀    donc  α₁ et α₂   sont complexes.
α₁  =  - γ/2 + j (ω₀²  - γ²/4)^1/2 = - γ/2 + j ω'    ( On pose (ω₀²  - γ²/4)^1/2 = ω'  )
α₂  =  - γ/2 - j ( ω₀²  - γ²/4)^1/2 = - γ/2 - j ω'

x = a e ^{- γ/2 t + j ω}' ^t + b e ^{- γ/2 t - j ω}' ^t   
x = e ^{-γ/2 t} ( a e  ^{j ω}' ^t + b e  ^{- jω}' ^t  )
a = a_r + j a_i          b = b_r - j b_i
x = e ^{-γ/2 t} ( (a_r + j a_i ) ( cos(ω't) + j sin(ω't)) + (b_r + j b_i )( cos(ω't) - j sin(ω't)) )
x = e ^{-γ/2 t} ( (a_r + b_r ) (cos(ω't) + (b_i - a_i ) (sin(ω't)) + j ((a_r - b_r )(sin(ω't) + (a_i + b_i )cos(ω't)))
x est réel donc la partie imaginaire est nulle
donc a_r - b_r = 0    et    a_i + b_i  = 0,  donc   a_r = b_r    et      a_i  = - b_i     donc   b = a*  ( valeur conjuguée de a )
x = e ^{-γ/2 t  (} a e ^{j ω}' ^t + a* e ^{- jω}' ^t ) 

Conditions initiales : A t = 0  x = x₀ et v = v₀
x = e ^{-γ/2 t} ( (a_r + j a_i ) e  ^{j ω}' ^t + (a_r - j a_i ) e  ^{- jω}' ^t  )
x = e ^{-γ/2 t} ( a_r ( e  ^jω' ^t + e  ^{- jω}' ^t ) + j a_i  (e  ^jω' ^t  -  e  ^{- jω}' ^t  )
x = e ^{-γ/2 t} ( 2a_r cos(ω' t)  -  2a_i sin(ω' t)
v = e ^{-γ/2 t} ( -2a_r ω' sin(ω' t) -  2a_i ω' cos(ω' t)) - γ/2 e ^{-γ/2 t} ( 2a_r cos( ω' t) - 2a_i sin(ω' t))
A t = 0, x = x₀ = 2a_r   donc a_r = x₀/2
et  v = v₀ = - 2a_i ω' - γ/2 2a_r = - 2a_i ω' - γ/2 x₀   donc a_i = - (v₀ + γ/2 x₀)/2 ω'
x = e ^{-γ/2 t} ( x₀ cos(ω' t) +  (v₀ + γx₀/2)/ω' sin( ω' t))
v = e ^{-γ/2 t} ( v₀ cos(ω' t) - (γ/(2ω')  (v₀ + γx₀ /2) + ω'x₀) sin(ω' t))

Période de l'oscillateur
T = 2π/ω' = 2π/(ω₀²  - γ²/4)^1/2  

Exemple :  k = 20 N/m       m = 0,1 kg       x0 = 0,05 m      v0 = 0,25 m/s      h = 0,4 kg/s

1.5 Solution apériodique critique  γ  = 2ω₀ .

ω'  = ω₀  - γ/2 = 0     ce qui correspond à h = 2(k m)^1/2
solution oscillante : x = e ^-γ/2t ( x₀ cos( ω' t) +  (v₀ + γ/2 x₀)/ ω' sin(ω' t))
On fait tendre ω' vers 0  donc (v₀ + γ/2 x₀)sin(ω' t)/ ω' tend vers (v₀ + γ/2 x₀)ω' t/ ω'  = (v₀ + γ/2 x₀) t 
x = e ^{-γ/2 t} ( x₀  +  (v₀ + γx₀/2) t)
v = e ^{-γ/2 t} (v₀  -  γ/2 (v₀ + γx₀/2) t) 

C'est le régime apériodique qui permet d'atteindre l'équilibre le plus rapidement.

Exemple :  k = 20 N/m       m = 0,1 kg       x0 = 0,05 m      v0 = 0,25 m/s      h = 2(k m)1/2  =  2,828 kg/s

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2. Oscillations forcées

2.1 Équation différentielle du mouvement d'un oscillateur horizontal.

m a = T + f
T = - k (x - x_e)    x_e  représente le mouvement d'excitation de l'extrémité du ressort, x - x_e est donc bien l'allongement du ressort, x étant l'écart par rapport à l'équilibre obtenu quand x_e = 0
f  = - h v = - h dx/dt           ( frottement fluide laminaire )
x_e = a₀ sin(ωt) => x_e = a₀ e ^jωt 
m d²x/dt² = - k x - h dx/dt + k a₀ e ^{j ωt} 
d²x/dt² = - k/m x - h/m dx/dt + k/m a₀ e ^jωt 
On pose :   k/m = ω₀²      et        h/m = γ  
d²x/dt² +  γ dx/dt  +  ω₀² x  =  a₀ ω₀² e ^{j ωt}     Si l'oscillateur n'est pas horizontal, on obtient la même équation, x représente encore l'écart par rapport à l'équilibre obtenu quand x_e = 0

2.2 Solution stationnaire de l'équation.

On cherche une solution du type x = x₀ e ^jωt 

-ω² x₀ e ^jωt   + j γ ω x₀ e ^jωt  +  ω₀² x₀ e ^jωt  = a₀ ω₀² e ^jωt 
-ω² x₀  + j γ ω x₀ +  ω₀² x₀  = a₀ ω₀² 
x₀ = a₀ ω₀² /(ω₀²  -ω² + j γ ω)
x₀ = a₀ ω₀²/((ω₀²  -ω²)² +  γ² ω² )^1/2
tan φ  = γ ω/(ω₀²  -ω²)
x = x₀ sin(ωt - φ) 
v  = j ω a₀ ω₀² /(ω₀²  -ω² + j γ ω) = j a₀ ω₀² /(-ω +  ω₀²/ω  + j γ) 
v₀ = x₀ω = a₀ ω₀² ω/((ω₀² -ω² )² +  γ²ω² )^1/2  =  a₀ ω₀²/(( ω₀²/ω - w )² +  γ² )^1/2
v  = v₀ cos(ωt - φ) 
x₀ passe par son maximum pour ω² = ω₀² - γ²_/2         x_0max = a₀ ω₀/γ
v₀ passe par son maximum pour ω = ω₀                            v_0max = a₀ ω₀²/γ = ω₀ x_0max

Exemple :  k = 20 N/m       m = 0,1 kg       a0 = 0,05 m     h = 0,5 kg/s

La bande passante Δω correspond à l'écart de pulsation pour lesquelles   ω² - ω₀²  = +- γω 
 ω² - ω₀² +- γω = 0 => ω = +- γ/2 + ( γ² /4 + ω₀² ) 
ω₁ = - γ/2+ ( γ² /4 + ω₀² )      et       ω₂= γ/2 + ( γ² /4 + ω₀² )  
Δω =  ω₂ - ω₁  =  γ
La bande passante Δ ω = γ
Le facteur de qualité Q = ω₀/Δω  = ω₀/γ

Remarque : La solution générale de l'équation est la somme de la solution des oscillations libres et de la solution stationnaire. Les oscillations libres s'amortissant très vite, il ne reste rapidement que la solution stationnaire.