Le corps noir     

Constante de Boltzmann     k = 1,380 650 3 × 10-23 J/K
Constante de Planck           h = 6,626 068 74 × 10-34 J.s
Vitesse de la lumière          c = 299 792 458 m/s

1. Probabilité d'échange atome-photon

Le photon est un boson, il suit donc la statistique de Bose-Einstein. La probabilité d'émission d'un boson en présence de n bosons identiques est proportionnelle à n+1 : Pe = (n+1) p  et la probabilité d'absorption est proportionnelle à n : Pa = n p ( p : probabilité d'émission du boson seul ) *

2. Équilibre thermique du corps noir

Le corps noir est constitué d'une cavité creuse de volume V à la température T en équilibre thermique. Les atomes de la paroi absorbent, puis réémettent les photons présents dans la cavité. Ils oscillent donc entre des niveaux d'énergie Ea et Ee, séparés de ΔE = hν

Ne atomes sont dans l'état Ee et Na dans l'état Ea. La cavité contient n photons.
Le nombre de photons émis est donc Ne Pe = Ne (n+1) p
et le nombre de photons absorbés est Na Pa = Na n p
A l'équilibre thermique, ces deux nombres sont égaux, donc Ne (n+1) p = Na n p ou Ne (n+1) = Na n
Or à l'équilibre thermique, on a aussi Ne/Na = e -ΔE/kT ( formule de Boltzmann )
donc n/(n+1) = e -ΔE/kT et donc
n = 1/(e ΔE/kT -1) = 1/(e hν/kT -1)
L'énergie des photons de fréquence ν est donc Eν = n hν = hν/(e hν/kT -1)

3. Nombre de modes contenus dans l'intervalle de fréquence δν

Sur une longueur L, il y a une onde stationnaire de polarisation donnée si L = j λ /2 ou L = j π/kj donc  kj = j π/L   ( j entier )
l'intervalle entre deux nombres d'onde successifs est donc δk = π/L.
Le nombre de valeurs de k compris dans un intervalle  δk >> δk est donc   δk /δk = δk L/ π
Cependant, une onde stationnaire contenant 2 ondes, Le nombre de modes δM n'est que la moitié du nombre de valeurs de k donc        δM = δk L/ 2π

A 3 dimensions, δM = δMx δMy δMz =  δkx Lx/2π δky Ly/2π δkz Lz/2π = LxLyLz/(2π)3 δkx δky δkz
δM = V /(2π)3
δk3. Le photon ayant 2 états de polarisation possibles, δM = 2V/(2π)3δk 3

δk3 est l'intervalle de volume sphérique dans l'espace des k et vaut donc 4πk² δk.
donc δM = 8πV/(2π)3 k2δk  =  V/π2 k 2δk.    
k = 2πν/c donc δM = 8π2/c3 δν

4. Énergie volumique du corps noir

La cavité contient δM modes contenant chacun l'énergie Eν = hν/(e hν/kT -1) dans chaque intervalle de fréquence δν
L'énergie contenue dans l'intervalle de fréquence
δν est donc δE = 8π2/chν/(e hν/kT -1)  δν
dE = 8πVhν3/ (c3(e hν/kT -1) ) δν

Energie volumique par intervalle de fréquence dν : dE = δE/V

          dE = 8
π3/ (c3 (e hν/kT -1) ) dν

Énergie volumique par intervalle de pulsation

ν = ω/2π   donc dν = dω/2π . On a alors dE = 16π2 hω3/(c3 (e hw/kT -1) )dω/16π4 = hω3/(π2c3 (e hw/kT -1) )dω avec  h = h/2π

        dE = hω3/(π2c3 (e hw/kT -1) )dω 

Énergie volumique par intervalle de longueur d'onde dλ

λ = c/ν ou ν = c/λ  donc dν = (-) c/l2 dλ . On a alors dE = 8π hc3/(λ3c3 (e hc/kλT -1) ) c/λ2 dλ .

        dE = 8πhc/(λ5(e hc/kλT -1) )

Loi d'émission du corps noir ( loi de Planck )

Énergie volumique par intervalle de longueur d'onde

Courbe dE/dλ = f (λ)

dE        8πhc                1              
---  =  ----  ------------
dλ          λ5
      ( e hc/kλT - 1 )   

5. Loi de Wien

La courbe passe par un maximum quand  λ5 ( e hc/kλT - 1 ) passe par un minimum.

On dérive par rapport à λ : 5λ4( e hc/kλT - 1 ) - λ5 hc/(kλ2T )e hc/kλT = 0
On simplifie par
λ4  :  5 ( e hc/kλT - 1 ) - hc/(kλT )  e hc/kλT = 0  donc  ( 5 - hc/(kλT )) e hc/kλT - 5  = 0
On pose hc
/(kλT) = u
( 5 - u ) e u  - 5  = 0
On pose 5 - u = x
alors  x e 5-x  = 5  donc  x e 5 e -x  = 5  et  ainsi  e 5/5  x  =  e x

Il reste à résoudre cette équation, ce qui n'est pas si évident si on ne veut pas le faire numériquement.

La solution est le point de concours inférieur des courbes y = e 5/5  x  et  y = e
ce qui fait à peu près y = 30 x   et   y = e x . Manifestement, y est voisin de 1 et donc x voisin de 1/30
Comme x << 1, On peut développer e x en série de Taylor au 2ème ordre :  e= 1 + x + x2/2
Donc 1 + x + x2/2 = e 5/5  x 
x2 - 2( e 5/5 -1 ) x + 2 = 0
La solution est donc x = ( e 5/5 -1 ) - ( ( e 5/5 -1)2 - 2 ) 1/2  = 0,03488552  ( La détermination numérique donne 0,0348857682557236963 donc l'approximation est plutôt bonne )
u = hc/(kλT = 5 - x = 4,9651142317442763037
λ = hc/( 4,9651142317442763037 kT ) = 2,8977686 × 10-3/T , c'est la loi du déplacement de Wien

Loi de Wien

λmax  = 2897,77 × 10-6/T

6. Intensité lumineuse en fonction de la fréquence

L'intensité lumineuse I est la puissance lumineuse par m² à la fréquence ν à l'intérieur  du corps noir 
C'est l'énergie produite en une seconde à la fréquence ν par une section 1 m² , c'est donc l'énergie contenue dans un volume de section 1 m² et de longueur c: V = c
C'est donc I (ν) = V dE/ dν  = c dE/ dν = 8π3 /(c2(e hν/kT -1))        ou    I (ω) = c dE/dω = hω3/(π2c2 (e hω/kT -1) )

       I (ν) = 8πhν3/(c2(e hν/kT -1))    ou    
       I (ω) = hω3/(π 2c2(e hω/kT -1))

7. Loi de Stefan-Boltzmann

La loi de Stefan-Boltzmann ( ou loi de Stefan ) donne la puissance lumineuse sortant du corps noir par une surface de 1 m² 
Cette énergie est le quart de l'énergie à la fréquence ν contenue dans un volume V de section 1 m² et de longueur c.1s  : V = c
C'est donc le quart de l'intensité lumineuse à la fréquence ν.
Pourquoi le quart ? Parce que la moitié de la lumière se déplace vers l'arrière et que la lumière qui vient vers l'avant se propage dans toutes les directions, il y a donc un facteur cosinus qui donne à nouveau un facteur 1/2.
 C'est donc l'intégrale sur toutes les ν de la fonction  I(ν)/4  = 2π3/(c2(e hν/kT -1))
P =  I(ν)/4 dν  =   3/(c2(e hν/kT -1))
On pose u = hν/kT, on a alors I dν  =  2πh(kTu/h)3/c2 / (eu -1)  kT/h du  =  2πk4T 4/h3/cu3/(eu -1) du
donc P = 2πk4T4/h 3/c u3/(eu -1)du        or       u3/(eu -1) du  =  π4/15 **
donc P = 2π5k4/(15 h3c2) T4  = σT4  ( Loi de Stefan )
La constante de Stefan-Boltzmann : σ  =  2π5k4/(15 h3c2) = 5,6703994 × 10-8 W m-2 K-4

Loi de Stefan-Boltzmann

P = σ T       s = 5,67040 × 10-8 W m-2 K-4

8. Exemples d'applications

8.1 Détermination de l'albédo terrestre

L'albédo est la proportion d'énergie lumineuse solaire qui n'est pas absorbée par la Terre, elle est réfléchie par l'atmosphère.
Données et mesures possibles depuis la Terre : 
RT : rayon de la Terre
RS : rayon du Soleil
d : distance Terre-Soleil
θ : diamètre apparent du Soleil = 2RS/d = 32' = 9,308 × 10-3 rd
TT : Température moyenne de l'atmosphère terrestre = -18 °C = 255 K ( Vive l'effet de serre !!! )
TS : Température de surface du Soleil
lmax du Soleil = 0,5014 µm

TS = 2,898 × 10-6max = 5780K   ( Application de la loi de Wien )
Puissance émise par le soleil  P0 = 4πRS2σ TS4  ( Application de la loi de Stefan )
Puissance reçue par la Terre PS = P0 πRT2/4πd2 = P0 RT2/4d2 =  4πRS2σ TS4RT2/4d2 = πθ2σ TS4RT2/4
Puissance émise par la Terre PT = 4πRT2σ TT4  ( Application de la loi de Stefan )
PT/PS = 4πRT2σ TT4 / (πθ2σ TS4RT2/4) = 16/θ2 ( TT/TS )4 = 0,689
Albédo a = 1- PT/P= 0,311      ( Environ 30 % de l'énergie reçue est réfléchie par l'atmosphère )

8.2 Détermination de la perte de masse du Soleil

Données : 
RS: rayon du Soleil = 696265 km
TS : Température de surface du Soleil = 5780K
Puissance émise par le soleil  PS = 4πRS2σ TS4  = 3,85 × 1026 W
Masse perdue par seconde ( relation d'Einstein) = PS/c2 = 4,291 × 109 kg/s ( plus de 4 millions de tonnes par seconde !!)
D'autre part, le Soleil perd aussi environ 1 million de tonnes de matière par seconde par l'intermédiaire du vent solaire.

Masse perdue par le Soleil depuis sa formation ( 4,6 109 années ) :
M = 5,3 × 109x 4,6 × 109 x 365,25 x 24 x 3600 = 7,7 × 1026 kg ( environ 128 masses terrestres, ce qui est très peu ( 0,038% ) par rapport à la masse du Soleil égale à 333432 masses terrestres. 


 Calcul de l'intégrale de u3/(eu -1)du

Sachant que Σ qn = q/(1 - q ) = 1/( 1/q -1 ), on a 1/(eu -1)  =  1/(1/e-u -1) = Σ (e-u)= Σ e-nu  donc 

u3/(eu -1)du  est égale à Σ ( u3e-nu )du  = Σ u3e-nu du 
On intègre trois fois par parties, on a alors :
Σ 3u2 e-nu /n  du,  puis Σ -6u e-nu /n du,  puis Σ   6 e-nu /n3 du  qui  vaut Σ 6/n= 6Σ 1/n4  
or  Σ 1/n = π4 /90, donc  u3/(eu -1) du = π4 /15

* Les puristes pourraient s'inquiéter d'une probabilité qui peut manifestement dépasser 1 ! Il faudrait la normaliser. En réalité, il n'y a pas lieu de s'en préoccuper puisqu'on n'utilise que le rapport des probabilités.