La radioactivité             

1. Différents types de désintégrations radioactives

1.1 Radioactivité α ( Émission d'un noyau d'hélium 4 )
Z
A X  ------->   Z -2A-4 Y     +      24 He
Radioactivité spécifique des noyaux lourds.

1.2 Radioactivité β - ( Émission d'un électron  et d'un antineutrino électronique)
Z
A X  ------->   Z+1A Y      +      -10 e        +        00 νe
Radioactivité des noyaux ayant trop de neutrons. Un neutron s'y transforme en proton :
01 n  ------->   11 p      +      -10 e        +        00 νe

1.3 Radioactivité β + ( Émission d'un positron et d'un neutrino électronique)
Z
A X   ------->   Z -1A Y      +      10 e        +        00 νe
Radioactivité des noyaux ayant trop de protons. Un proton s'y transforme en neutron :
11 p  ------->   01 n      +      10 e        +        00 νe

1.4 Capture électronique ( Émission d'un neutrino électronique)
Z
A X  +    -10e   ------->   Z -1A Y        +        00 νe
Radioactivité des noyaux ayant trop de protons. Un proton capture un électron de la couche K :
11 p       +      -10 e   ------->   01 n        +        00 ν

1.5 Fission spontanée ( Rupture spontanée du noyau avec émission de un, deux ou trois neutrons )
Z
A X     ------->   Z'
A' Y'      +      Z -Z' A-A'-k  Y       +       k   01 n 
Radioactivité des noyaux lourds ( A > 230 ). Cette forme de radioactivité est ultra minoritaire par rapport aux autres modes de désintégration des noyaux lourds, sauf pour les noyaux très lourds. ( 235U : 2.10-7 % de fissions spontanées. 252Cf : 3,1 % de fissions spontanées). 
Ce sont les fissions spontanées qui permettent le déclenchement de la réaction en chaîne. Ces fissions étant extrêmement rares, on utilise actuellement une source externe de Cf pour déclencher les réactions de fission de 235U ou de 239Pu )

1.6 Émission de protons ( Émission de deux ou trois protons)
Z
A X     ------->   Z -k A-k  Y         +     k   11 p
 
Radioactivité de noyaux exotiques ayant un très gros excès de protons. Cette forme de Radioactivité α été mise en évidence dans les années 2000

1.7 Radioactivité γ ( Émission d'un photon par désexcitation d'un noyau excité)
Z
A Y ------->   ZA Y      +      00γ
Cette réaction se produit après une désintégration radioactive quand le noyau formé n'est pas dans son état fondamental.

1.8 Annihilation électron-positron ( Émission de 2 photons  γ de 0,511 MeV : λ = 2,42.10-12 m)
-1
0 e     +      10 e   ------->   00γ     +      00γ

Remarque :
La capture électronique et la désintégration β+ donnent le même noyau fils. On peut se demander comment se fait le choix entre les deux modes et pourquoi plutôt l'un que l'autre. La différence est une question d'énergie de liaison des deux noyaux père et fils.
Pour la capture électronique   Δme =  m+ me - mY,  il faut donc :   mX >   mY   -  me  
Pour la désintégration β+      Δmb =  m - m-  me,  il faut donc :   mX >   mY   +  me  
Δmb =  Δme  + 2 me. En pratique, on a une capture électronique si  mX <   mY  +  met  plutôt une désintégration β+ dans le cas contraire.
De plus la désintégration β+ demandant une grande perte de masse produit donc beaucoup d'énergie, ce qui va de pair avec une faible durée de vie, c'est pourquoi il n'existe pas sur Terre, de nucléide naturel qui soit émetteur β+ et c'est pourquoi on a qualifié d'artificielle, cette forme de radioactivité. En réalité, elle est tout aussi naturelle que les autres.

2. Etude théorique

2.1 Activité d'un échantillon radioactif

Dans un échantillon contenant un très grand nombre d'atomes radioactifs, le nombre d'atomes qui se désintègrent Δ N pendant un petit intervalle de temps Δ t est proportionnel au nombre N d'atomes présents et à  Δ t. 
ΔN = λ N Δt  ( λ est la constante radioactive de l'élément radioactif )
Si on fait tendre Δt vers 0, on a :
dN = - λ N dt  ( le signe - vient du fait que N diminue, donc sa dérivée est négative )
dN = - λ N dt  => dN/dt = - λ N
On appelle activité A la variation de N en fonction du temps
A = - dN/dt =  λ N

    A =  λ N

2.2. Courbe de décroissance

dN/dt = - λ N donc :

    N = N0 e - λ t

A = λ N, donc  A = λ N = λ N0 e - λ t = A0 e - λ t

   A = A0 e - λ t

2.3. Demi-vie de l'élément

Par définition c'est le temps t1/2 = T nécessaire pour que le nombre de noyaux restant soit la moitié du nombre initial ou que le nombre de noyaux disparus soit la moitié du nombre initial
A t = T, N = N0/2
N0/2 = N0 e - λ T => 1/2  =  e - λ T  => 2  =  e  λ T
Ln 2 = λ T
   t1/2 = Ln 2 /λ = τ Ln 2        ( τ = 1/λ  est appelée constante de temps )

   N = N0  2 -t/T  = N0 e -t/τ

2.4 Activité massique d'un élément

L'activité d'un gramme de l'élément de masse molaire M est l'activité de n = 1/M mole donc de N = n Na = Na/M  noyaux
     A = λ N = λ Na/M   ou 

    A = Ln 2 Na/(M t1/2)

3. Famille radioactive

3.1. Définition - Exemples

Une famille radioactive est une suite de nucléides descendant d'un même noyau, le noyau père, par une suite de désintégrations successives jusqu'à l'obtention d'un noyau stable. 
Les trois familles les plus connues sont celles de U238, U235 et Th232 qui sont les noyaux pères naturels qui ont une demi-vie très longue.
U238 finit par donner Pb206  après 8 désintégrations α et 6 désintégrations β-

Élément chimique
Mode de désintégration
 Demi-vie 
Uranium 238
Radioactivité α 
4,5 milliards d'années
Thorium 234 
Radioactivité β-
24 j 
Protactinium 234 
Radioactivité β- 
1,2 min 
Uranium 234 
Radioactivité α 
250000 ans 
Thorium 230 
Radioactivité α 
75000 ans 
Radium 226 
Radioactivité α 
1600 ans 
Radon 222 
Radioactivité α 
3,8 j 
Polonium 218 
Radioactivité α 
3 min 
Plomb 214 
Radioactivité β- 
27 min 
Bismuth 214 
Radioactivité β- 
20 min 
Polonium 214 
Radioactivité α 
160 µs 
Plomb 210 
Radioactivité β- 
22,3 ans 
Bismuth 210 
Radioactivité β- 
5 j 
Polonium 210 
Radioactivité α 
138 j 
Plomb 206 
Stable 
 

U235  finit par donner Pb207  après 8 désintégrations α et 4 désintégrations β-
Élément chimique
Mode de désintégration
Demi-vie 
Uranium 235 
Radioactivité α 
704 millions d'années 
Thorium 231  
Radioactivité β- 
25,2 h 
Protactinium 231
Radioactivité α 
32 700 ans 
Actinium 227  
Radioactivité β-  
21,8 ans 
Thorium 227 
Radioactivité α 
18,72 j 
Radium 223 
Radioactivité α 
11,43 j 
Radon 219 
Radioactivité α 
3,96 s 
Polonium 215  
Radioactivité α 
1,78 ms 
Plomb 211 
Radioactivité β-  
36,1 min 
Bismuth 211 
Radioactivité α 
2,15 min 
Thallium 207  
Radioactivité β-  
4,77 min 
Plomb 207  
stable   

 

et Th232  finit par donner Pb208  après 6 désintégrations α et 4 désintégrations β-
Élément chimique
Mode de désintégration
 Demi-vie 
Thorium 232
Radioactivité α 
14,05 milliards d'années
Radium 228
Radioactivité β-
5,75 ans 
Actinium 228 
Radioactivité β- 
6,15 heures 
Thorium 228 
Radioactivité α 
1,19 an 
Radium 224 
Radioactivité α 
3,63 jours 
Radon 220 
Radioactivité α 
55,6 s 
Polonium 216 
Radioactivité α 
0,145 s 
Plomb 212 
Radioactivité β- 
10,64 h 
Bismuth 212 
Radioactivité β- 
60,55 min 
Polonium 212 
Radioactivité α 
0,3 µs 
Plomb 208 
Stable 
 

3.2. Détermination du nombre de noyaux du premier fils au cours du temps

Le nombre de noyaux du fils est N1 et celui du père N0. Le nombre initial de noyaux du père est Ni

Pendant dt, N1 varie de dN1 = -λ1 N1 dt + λ0 N0 dt ( il en disparaît λ1 N1dt à cause des désintégrations du fils et il en apparaît λ0N0 dt à cause des désintégrations du père qui produisent des noyaux du fils )
N0 = Ni  exp(-λ0 t ) donc 
dN1/dt + λ1 N = λ0 Ni  exp(-λ0 t )     Equation différentielle dont la solution est la somme d'une solution particulière avec le second membre et de la solution générale sans second membre qui est  N = Na exp(-λ1 t )
La solution particulière est de la forme  N = A exp(-λ0 t ). En reportant dans l'équation, on obtient :
 - λ0 A + λ1 A = λ0 Ni     donc  A = λ0 Ni / ( λ1 - λ0 ).
A t = 0, il n'y a pas de noyaux fils donc N1 = 0 = A + Na   donc  Na = - A  et 
      N = λ0 Ni  ( exp(-λ0 t ) -  exp(-λ1 t ))/ ( λ1 - λ0
Remarque : si  λ1 = λ0 , l'expression se simplifie en N =  λ0 Ni  t  exp(-λ1 t ) 
Si λ1 >> λ0 , le fils se désintègre beaucoup plus vite que le père,  N =   Ni  λ0 1 ( 1 -  exp(-λ1 t )) 
Si λ1 << λ0 , le père se désintègre beaucoup plus vite que le fils,  N =   Ni  ( 1 -  exp(-λ0 t )) 

3.3. Détermination du nombre de noyaux du deuxième fils au cours du temps

Le nombre de noyaux du deuxième fils est N2 et celui du premier fils est N1. Le nombre initial de noyaux du père est Ni

Pendant dt, N2 varie de dN2 = -λ2 N2 dt + λ1 N1 dt ( il en disparaît λ2 N2 dt à cause des désintégrations du deuxième fils et il en apparaît λ 1N1dt à cause des désintégrations du premier fils )
N =  λ0 Ni / ( λ1 - λ0 )  ( exp(-λ1 t ) -  exp(-λ0 t ) )
dN2/dt + λ2 N = λ1 Ni / ( λ1 - λ0 )  ( exp(-λ1 t ) -  exp(-λ0 t ) )      Équation différentielle dont la solution est la somme d'une solution particulière avec le second membre et de la solution générale sans second membre qui est  N = Na exp(-λ2 t )
La solution particulière est de la forme  N = A exp(-λ1 t ) + B exp(-λ0 t ). En reportant dans l'équation, on obtient :
- λ1 A exp(-λ1 t ) - λ0 B exp(-λ0 t ) + λ2 A exp(-λ1 t ) + λ2 B exp(-λ0 t )  =  λ1 Ni / ( λ1 - λ0 ) ( exp(-λ1 t ) -  exp(-λ0 t ) )    donc  
- λ1 A + λ2 A = λ1 λ0 Ni / ( λ1 - λ0 )
- λ0 B + λ2 B = -λ1 λ0 Ni / ( λ1 - λ0 )
donc A =  λ0 λ1 Ni / (( λ1 - λ0 )( λ2 - λ1 ))   et   B = λ0 λ1 Ni / (( λ1 - λ0 )( λ2 - λ0 ))  
N = A exp(-λ1 t ) + B exp(-λ0 t ) + Na exp(-λ2 t )
A t = 0, il n'y a pas de noyaux fils donc N1 = 0 = A + B + Na   donc  Na = - ( A + B )  et  en regroupant les termes,
   N = λ0 λ1 Ni  ( exp(-λ0 t )  -  exp(-λ2 t ))/ (( λ1 - λ0 )( λ2 - λ0 ))  + λ0 λ Ni   ( exp(-λ1 t )  -  exp(-λ2 t ))/ (( λ0 - λ1 )( λ2 - λ1 ))
Remarque : si  λ2 = λi , on remplace ( exp(-λi t )  -  exp(-λ2 t ) ) /( λ2 - λi )  par   t  exp(-λ2 t ) 
Si λ1 = λ0 , on obtient   N = Ni  ( λ02 t /( λ2 - λ0 )  +  λ02 ( exp(-λ2 t )  -  exp(-λ0 t ))/ ( λ2 - λ0 )2 )
Si λ2 = λ1  = λ0, on obtient   N = 1/2 Ni  λ02 t2  exp(-λ0 t )

3.4. Expression générale

En analysant la manière dont on passe du fils au petit-fils, on en déduit l'expression générale pour le descendant n 
( le père correspondant à n = 0 )
        Nn = Ni  Πi=0n-1λi   Σj=0n-1(( exp(-λj t )  -  exp(-λn t ))/Πi=0(i<>j)n ( λ λj ))
Remarque : si  deux des λ sont égaux, cette formule ne convient plus, il faut alors tout recalculer en en tenant compte, ce qui peut être un travail considérable ou alors, si on est plus malin, on modifie imperceptiblement l'un des deux λ et le tour est joué.

3.5. Activité de l'échantillon

L'activité totale de l'échantillon est la somme des activités des nf différents membres de la famille :
    A = Σj=0nf j  Nj )

4. Datations

4.1. Datation radioactive par le C14

C14 est radioactif  β- . C14 est formé en permanence dans la haute atmosphère par action des neutrons formés par les chocs des particules solaires ( essentiellement des protons ) dans l'atmosphère, sur les noyaux d'azote  :   01 n      +      714 N   ------->      614 C        +        11 p
Cette production liée à la désintégration de C14 produit un équilibre qui dépend du taux de production qui dépend, lui, de l'activité solaire et du champ magnétique terrestre qui dévie les protons. Activité et champ magnétique qui fluctuent un peu au cours des âges.
Le C14 s'intègre au CO2 atmosphérique et passe ainsi dans la chaîne alimentaire. Son taux dans la matière vivante est donc identique au taux atmosphérique.
A sa mort, l'organisme n'intègre plus de C14 et le taux de C14  diminue par désintégration. On peut donc dater la mort en mesurant le taux restant. On mesure le nombre N de C14 restant dans un échantillon de carbone ancien et on compare au nombre N0 de C14 contenus dans un échantillon de même masse actuel. On suppose que la proportion de C14 dans le carbone n'a pas varié au cours des temps géologiques, ce qui, nous l'avons dit, n'est pas tout à fait le cas, il faut donc "recalibrer " les mesures de manière empirique en comparant les résultats de cette méthode avec ceux obtenus par d'autres méthodes de datation. Cette méthode est maintenant bien maîtrisée.
On a :
N = N0 e - λ t
N/N0  = e - λ t => λ t = Ln N0/N
t = 1/λ Ln N0/N

     t = t1/2 Ln (N0/N) /Ln 2                       t1/2 = 5730 ans 

Rq : La valeur de  t1/2 limite la méthode à des échantillons d'âge inférieur à 50000 ans
La valeur utilisée de t1/2 a longtemps été de 5568 ans, ce qui entraîne une légère erreur pour les datations.
D'autre part les essais nucléaires dans l'atmosphère, en libérant des neutrons, ont pratiquement doublé le taux de C14  dans l'atmosphère actuelle.
On utilise donc un taux officiel obtenu à partir d'un échantillon de bois datant de 1850.

4.2. Datation radioactive par le couple Potassium40 / Argon40

Le K40 radioactif se désintègre par capture électronique en Ar40 qui est un gaz qui reste piégé dans la roche contenant le potassium. Ar étant un gaz inerte ne s'intègre pas dans les minéraux au moment de la formation de la roche et ainsi tout l'argon provient de la désintégration du K40.
En analysant un échantillon de la roche on peut mesurer la quantité de K40 et de Ar40 et en déduire l'âge de formation de la roche.
Le problème de la méthode est que le K40 se transforme aussi par désintégration b- en Ca40, élément banal et omniprésent, ce qui complique quelque peu la méthode...

La capture électronique a une constante radioactive λe = 5,81.10-11 an-1
La désintégration &beta- a une constante radioactive λb = 48,47.10-11 an-1

Pendant une durée dt, le nombre de noyaux Nk de potassium varie de dNk. Une partie λeNk dt est devenue de l'argon Ar et le reste λbNk dt est devenue du calcium, donc dNk = - ( λeNk dt  +  λbNk dt )    ou    dNk/dt  + ( λe +  λb ) Nk = 0
d'où, NK = N0 e - λ t  avec N0 le nombre initial de K   et   λ =  λe +  λ= 54,28.10-11 an-1 est la constante radioactive effective du K40 qui permet de calculer sa demi-vie :        t1/2  = ln 2/λ = 1,277.109 ans.

Pendant dt,  NA = λeNk dt  d'Ar  et  NC =  λcNk dt  de Ca apparaissent et donc NKdisparus =  λeNk dt  + λcNk dt  = λ Nk dt   de K disparaissent.
donc  NA  =  λe/λ   NKdisparus 
Soit NK le nombre d'atomes de K restant dans l'échantillon et NA le nombre d'atomes de Ar produits dans l'échantillon. 
NK = N0 e - λ t , donc  NKdisparus  = N0 - NK = N0 - N0 e - λ t  =  N0 ( 1 -  e - λ t )  et  NKdisparus   =  λ/λe  NA
donc  λ/λe  NA =  N0 ( 1 -  e - λ t )  et  N0  =  NK e  λ t 
 λ/λe  NA =   NK e  λ t  ( 1 -  e - λ t )  =  NK ( e  λ t  -  1 ) donc 
e  λ t   =  1 + λ/λe  NA/NK     donc 
λ t   =  Ln (1 + λ/λe  NA/NK )
                                                    t = 1/λ  Ln (1 + λ/λe  NA/NK ) = 1,842.109  Ln (1 + 9,342 NA/NK )    ( en années )

Remarque : Si t << t1/2 , NA << NK  ( Pour t = 100.106 années,  NA/NK =  0,006 )  donc  Ln (1 + λ/λe  NA/NK ) = λ/λe  NA/NK, et 
 
t = 1/λe NA/NK =  1,721.1010 NA/NK     ( en années )

La grande valeur de  t1/2  permet de dater des roches ayant l'âge de la Terre.

4.3. Datation radioactive par la méthode du Rubidium87 / Strontium87

Le 87Rb radioactif se désintègre par désintégration β- en 87Sr stable qui reste piégé dans la roche. Le problème est qu'on ignore totalement les quantités de ces deux nucléides présentes dans la roche au moment de sa formation.
On peut seulement dire que 87Rb = 87Rbinitial e - λ t  et   87Sr = 87Srinitial + 87Srproduit  =  87Srinitial + ( 87Rbinitial  - 87Rb ) 
87Sr  =  87Srinitial + ( 87Rb e λ t  - 87Rb  ) =  87Srinitial + 87Rb ( e λ t  - 1 )
On peut mesurer les valeurs de 87Sr et de 87Rb, mais comme on ne connaît pas 87Srinitial , on ne peut pas calculer t.
L'idée est qu'au moment de la formation d'une roche, les différents minéraux intègrent le Strontium en différentes quantités, mais que la proportion des différents isotopes du Strontium est identique dans tous les minéraux. Notamment  87Sr / 86Sr  est fixe pour tous les minéraux au moment de la formation de la roche qui les contient..
On divise donc par la quantité de 86Sr, on obtient :

    87Sr/ 86Sr  87Srinitial / 86Sr  87Rb/ 86Sr (eλt - 1)

On mesure donc les quantités de 87Sr, de 86Sr et de 87Rb, puis on trace 87Sr/ 86Sr  en fonction de  87Rb/ 86Sr  pour les différents minéraux de la roche et on obtient une fonction affine de coefficient directeur : a = ( e λ t  - 1 ). On a alors a + 1 =  e λ t   donc Ln ( a + 1 ) = λ t  

  t = Ln ( a + 1 ) /λ  =  τ Ln ( a + 1 )  = t1/2 Ln ( a + 1 ) /Ln 2        t1/2 = 47,5 109 ans,    λ = 1,46 10-11 an-1    et    τ = 68,5 109 ans


Les 5 points représentent les proportions des isotopes 
           pour 5 minéraux différents de la roche

4.4. Datation radioactive par le couple Uranium238 / Plomb206

 U238  radioactif a, se désintègre en plusieurs étapes en Pb206 qui reste piégé dans la roche contenant l'uranium. On suppose que tout le Pb206  présent dans la roche, provient de la désintégration de U238. Naturellement, la méthode est caduque si cette hypothèse n'est pas vérifiée, ce qui peut arriver. Ce n'est donc une méthode à utiliser que si aucune autre n'est utilisable. 
La très grande demi-vie de l'uranium 238, t1/2 = 4,5.109 ans, permet de dater des roches très anciennes comme celles contenues dans les météorites qui peuvent provenir de l'époque de formation du système solaire.
En analysant un échantillon de la roche, on peut mesurer la quantité de U238 et de Pb206 et en déduire l'âge de sa formation.
Si tous les noyaux de Pb proviennent de la désintégration de U, on en déduit que le nombre initial de noyaux de U était égal à N0 = NU + NP
NU = N0 e - λ t
NU/(NU + NP)  = e - λ t => λ t = Ln ((NU + NP) /NK)
t = 1/λ Ln ((NU + NP) /NU)

     t = t1/2 Ln ((NU + NP) /NU)                  t1/2 = 4,5.109 ans

4.5. Datation radioactive par le couple Uranium234 / Thorium230

La technique de datation à l'uranium-thorium permet de mesurer l'âge de formations carbonatées obtenues par précipitation comme les coraux ou la calcite des grottes.
L'uranium 234 se désintègre en thorium 230 par désintégration α . L'uranium 234 est soluble dans l'eau alors que le thorium est insoluble, ainsi quand le carbonate de calcium précipite, il intègre un peu d'uranium 234, mais pas de thorium puisqu'il n'y en a pas dans l'eau. 
A partir du moment où la roche est formée, l'uranium 234 se désintègre et du thorium 230 apparaît dans la roche. Le rapport de la quantité de thorium à la quantité d'uranium permet de mesurer le temps écoulé.

U234 : t1/2 = 245500 ans     et     λ0 = 4,073.10-6  an-1              
Th230 :  t1/2 = 75380 ans     et      λ1 = 1,327.10-5 an-1

NU  =  Ni  exp(-λ0 t )      ( Cf  : 2.2 )
NTh  = λ0 Ni  ( exp(-λ0 t ) -  exp(-λ1 t ))/ ( λ1 - λ0 )      ( Cf  : 3.2 )
NTh /NU  =  λ0 ( 1 -  exp((λ0 - λ1) t )/ ( λ1 - λ0 )
1 - exp((λ0 - λ1) t ) = ( λ1/λ - 1 ) NTh /NU
exp((λ0 - λ1) t ) =  1 - ( λ1/λ - 1 ) NTh /NU
      t  = 1/(λ0 - λ1)   ln( 1 - ( λ1/λ - 1 ) NTh /NU )  =  - 1,09.105   ln( 1 - 2,258 NTh /NU    en années     

Si  NTh << NU ,  t  = 2,455.105 NTh /NU       ( en années )