Circuits RC, RL, RLC        

1. Oscillations libres amorties dans un circuit RLC

1.1 Équation différentielle du circuit.

Ldi/dt + Ri + q/C = 0
Ld²q/dt² + Rdq/dt + q/C = 0
d²q/dt²  + R/Ldq/dt + q/LC = 0
On pose 1/LC = ω02   et    R/L = γ
d²q/dt² +  γ dq/dt  +  ω02 q  = 0

1.2 Solution de l'équation différentielle.

On cherche une solution du type q = a e αt 

α2 a e αt   +  γ α a e αt  +  ω02 a e αt  = 0
α2 +  γ α  +  ω02  = 0
α =  - γ/2 + ( γ2/4 -  ω02 )1/2 
α2  =  - γ/2 - ( γ2/4 -  ω02 )1/2 

1.3 Solution apériodique  γ > 2ω0 .

γ > 2ω0    donc  α1 et α2   sont réels.
q = C uc = a exp(α1t) + b exp(α2t)
i = α1a exp(α1t) + α2 b exp(α2t)


Conditions initiales :
A t = 0  U = E  => q0 = CE   et   i = 0

CE = a + b
0 = α1a +  α2 b d'où
a = α2 CE /(α2 - α1)
b = α1 CE /(α1 - α2)
q = C uc = CE/(α1 - α2)  (α1  exp(α2t) - α2 exp(α1t))
uc = E/(α1 - α2)  (α1  exp(α2t) - α2 exp(α1t))
i = CE α1α2/(α1 - α2)  (exp(α2t) - exp(α1t))

1.4 Solution oscillatoire amortie pseudo-périodique  γ < 2ω0 .

γ < 2ω0    donc  α1 et α2   sont complexes.
α1  =  - γ/2 + j (ω0 - γ2/4)1/2 = - γ/2 + j ω'     ( On pose (ω0 - γ2/4)1/2 = ω'  )
α2   =  - γ/2 - j ( ω0 - γ2/4)1/2 = - γ/2 - j ω'
q = a
e -γ/2 t + j ω' t + b e -γ/2 t - j ω' t 
q = e -γ/2 t ( a e  j ω' t + b e  - jω' t  )
a = ar + j ai          b = br - j bi
q = e -γ/2 t ( (ar + j ai ) ( cos(ω't) + j sin(ω't)) + (br + j bi )( cos(ω't) - j sin(ω't)) )
q = e -γ/2 t ( (ar + br ) (cos(ω't) + (bi - ai ) (sin(ω't)) + j ((ar - br )(sin(ω't) + (ai + bi )cos(ω't)))
q est réel donc la partie imaginaire est nulle

donc ar - br = 0    et    ai + b= 0,  donc   ar = br    et      ai  = - bi     donc   b = a*  ( valeur conjuguée de a )
q = e -γ/2 t  ( a e j ω' t + a* e - jω'
En prenant la partie réelle, on obtient :
q = C uc = e -γ/2 t  (A cos(ω' t) + B sin(ω' t))
i = e -γ/2 t  ((Bω' - γA/2) cos(ω' t) - (Aω' + γB/2) sin(ω' t))

Conditions initiales : A t = 0  U = E  => q0 = CE   et   i = 0
CE = A 
0 = Bω' - γA/2  donc  Bω' = γA/2 = γCE/(2ω') 
q = CE e -γ/2 t (cos(ω' t)  +  γ/(2ω') sin(ω' t))
uc = E e -γ/2 t (cos(ω' t)  +  γ/(2ω') sin(ω' t))
i = - CE (ω' +  γ2/(4ω')) e - γ/2 t  sin(ω' t)

1.5 Solution apériodique critique  γ  = 2ω0 .

ω'  = ω- γ/2 = 0   ou   γ  =  2ω0
solution oscillante : q = CE  e -
γ/2 t (cos(ω' t) +  γ/2/ ω' sin(ω' t))
On fait tendre ω' vers 0  donc γ/2 sin(ω' t)/ ω' tend vers  γ/2  ω't/ ω'  =  γ/2 t 
La solution générale est donc

q = (A + Bt) exp(-ω0t) 
i = ((B - ω0A) - ω0Bt) exp(-ω0t)

Conditions initiales :
A t = 0  U = E  => q0 = CE   et   i = 0
q =  CE ( 1 + ω0 t ) 
exp(-ω0 t) 
uc=  E ( 1 + ω0 t ) exp(-ω0 t) 
i =   - CE ω02 t  exp(-ω0 t)

1.6 Solution non amortie.

Si R = 0, il reste d²q/dt²  +  q/LC = 0
dont la solution est sinusoïdale : 
q = Qm sin( ω0 t + φ )    avec  ω= (1/LC)1/2    et     T0 = 2π/ω= 2π(LC)1/2
uc = Qm sin( ω0 t + φ  ) = Qm/C  sin( ω0 t + φ ) = Um  sin( ω0 t + φ  ) 
i = dq/dt = Qmω cos( ω0 t + φ  )  =  C Umω0 cos( ω0 t + φ  )  =  Im cos( ω0 t + φ  )

Conditions initiales : A t = 0, i = I0  et  uc = U0
uc = Um  sinφ  = U0
i = C Umω0 cosφ  =  I0 
tanφ = sinφ /cosφ   =  Cω0 U0/I0 
Um  = U0/sinφ  
Exemple : A t = 0, i = 0  et  uc = E, on obtient     uc = E  sin(ω0 t + π/2 )  =  E  cos(ω0 t) , solution que l'on retrouve en faisant  γ = 0 dans la solution pseudopériodique correspondant aux mêmes conditions initiales : uc = E e -γ/2 t (cos(ω' t)  +  γ/2 ω' sin(ω' t))


2. Circuit RC

2.1 Équation différentielle du circuit.

Ri + q/C = U
Rdq/dt + q/C = U
RC dq/dt + q = CU

2.2 Solution de l'équation.

q = CA e - t/RC  + CU
uc = A e - t/RC  + U

Charge du condensateur : U = E           Conditions initiales : A t = 0  u = 0
0 = A  + E donc A = -E
u c= E ( 1 - e - t/RC )

Décharge du condensateur : U = 0        Conditions initiales : A t = 0  u = E
E = A
uc
= E e - t/RC 

Constante de temps τ = RC 


3. Circuit RL

3.1 Équation différentielle du circuit.

Ldi/dt + Ri  = U
L/R di/dt  +  i  = U/R

3.2 Solution de l'équation.

i = A e - R/L t  + U/R

Établissement du courant : U = E         Conditions initiales :
A t = 0  i = 0
0 = A  + E/R    donc A = -E/R
i = E/R ( 1 - e - R/L t  )

Rupture du courant : U = 0                   Conditions initiales : A t = 0  i = E/R
E/R = A
i = E/R e - R/L t  

Constante de temps τ = L/R